题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′=DE．
（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE²=AD²+EC²．

答案

证明（1）：∵∠DBE=∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋转而成，
∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，
∴∠DBE′=∠DBE，
在△DBE与△DBE′中，
∵ BE=BE′ ∠DBE=∠DBE′ BD=BD   ，
∴△DBE≌△DBE′，
∴DE′=DE；
（2）如图所示：把△CBE旋转90°，连接DE′，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，
∴AE′=EC，
∴∠E′AB=∠BCE=45°，
∴∠DAE′=90°，
在Rt△ADE′中，DE′²  =AE′²  + AD²，
∵AE′=EC，
∴DE′²=EC²+AD²，
同（1）可得DE=DE′，
∴DE′²=AD²+EC²．