题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF。
（1）如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；
②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系。

答案

解：①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵∠DAF=60°
∴∠BAC=∠DAF
∴∠BAD=∠CAF
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF
∴△ABD≌△ACF
∴∠ADB=∠AFC；
②结论：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立； （2）结论∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立，
∠AFC、，∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB-∠DAC（或这个等式的正确变式）
证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC
∠BAC=60°
∵∠BAC=∠DAF
∴∠BAD=∠CAF
∵四边形ADEF是菱形
∴AD=AF，
∴△ABD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC；（3）补全图形如右图，
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=2∠ACB-∠DAC （或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）。