题目

题型：不详难度：来源：

数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）一般情况，证明结论：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为______（请直接写出结果）．

答案

（1）答案为：=．

（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF，
∴AE=BD．

（3）①∵AB=1，AE=2，△ABC是等边三角形，B是AE的中点，
∴AB=AC=BC=1，易得，△ACE是Rt△，
∴∠ACE=90°，
∴∠D=∠ECB=30°，∠DBE=∠ABC=60°，即△DEB是直角三角形．
∴BD=2（30°所对的边等于斜边的一半），即CD=1+2=3．
另法：∵EF∥CD
∴∠EFC=∠EBD=180°-60°
∵EC=ED
∴∠D=∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF=60°-∠ECD=60°-∠D
∴△EFC≌△EDB
∴EF=BD
又∵∠A=∠AEF
∴AE=2
∵BC=1
∴CD=3
②∵AE=2，BA=BC=1，
∴BE=3，作EF⊥CD交CD于点F，则在Rt△EFB中，∠BEF=90°-60°=30°，
∴BF=

1

2

BE=

1

2

×（1+3）=1.5，
∴CF=BF-BC=1.5-1=0.5，
而ED=EC，EF⊥CD，
∴DF=CF（三线合一），
∴CD=2CF=1．
答：CD的长是1或3．