题目

题型：武汉模拟难度：来源：

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°．
（1）求证：AD=BD；
（2）E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；
（3）当BD=2时，AC的长为______．（直接填出结果，不要求写过程）

答案

（1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°．
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=30°．
∴AD=BD．

（2）证明：在DE上截取DM=DC，连接CM，
∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，
∴△ACD≌△BCD．
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∵∠CAD=15°，
∴∠EDC=60°．
∵DM=DC，
∴△CMD是等边三角形．
∴∠CDA=∠CME=120°．
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAD．
∴△CAD≌△CEM．
∴ME=AD．
∴DA+DC=ME+MD=DE．
即AD+CD=DE．



（3）延长CD交AB于点H，则CH⊥AB，
∵∠HBD=30°，BD=2，
∴BH=BD?cos30°=

3

．
∴AC=BC=BH÷sin45°=

6

．