题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

如图，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=，现将一块三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个 30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E, F，连结DE，DF，EF，且使DE始终与AB垂直，设AD=x，△DEF的面积为y。
（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形（不包括此三角板），并说明理由；
（2）问EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；
（3）求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，当x为何值时，y有最大值？最大值是为多少？

答案

解：（1）图形举例：
            △ADE∽△BFD，
         ∵ DE⊥AB，∠EDF=30°，
         ∴∠FDB=60°，
         ∵ ∠A=∠B，∠AED=∠FDB，
         ∴ △ADE∽△BFD，（答案不唯一）；
（2）EF可以平行于AB， 
        此时，在直角△ADE中，DE=， 
       在直角△DEF中，EF=， 
        在直角△DBF中， ∵ BD=， ∴ DF=， 
        而DF=2EF， ∴=， 
        ∴
 （3），即，
         当时，y_最大=