题目

题型：模拟题难度：来源：

如图所示，正方形ABCD的边长为4，E为CD 的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a。
（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的条件下，若将“E为CD的中点”改为“CE=k·DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值。（用k的代数式表示）

答案

解：（1）如图①，
S四边形BCEF=S正方形ABCE-S△ABF-S△DEF
=4²-×4×a×2×（4一a）=12-a，
∵F为AD边上一点，且不与点D重合，
∴0≤a<4，
∴当点F与点A重合时，a=0，S四边形BCEF存在最大值12， S四边形BCEF不存在最小值；

（2）如图②，延长BC、FE交于点P，
∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP，
∵E为CD的中点，
==1，PF=2EF
∵∠BFE=∠FBC
∴PB=PF，
∴AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，EF=，
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF2，
∴（）² =2²+（4-a）²，
整理，得3a²-16a+16=0，
解得a₁=，a₂=4
∵F点不与D点重合，
∴a=4不成立，
∴a=，tan∠AFB==3；（3） tan∠AFB=2k+l。（K为正整数）