题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，二次函数y=ax²+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）。
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为___________；
（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵y=ax²+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，a=-，
∴所求解析式为：y=-x²+x+3；
（2）（6，0）；
（3）在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，
∴AC=，
①当P₁A=AC时（P₁在x轴的负半轴），P₁（-2-，0）；
②当P₂A=AC时（P₂在x轴的正半轴），P2（-2，0）；
③当P₃C=AC时（P³在x轴的正半轴），P3（2，0）；
④当P₄C=P₄A时（P₄在x轴的正半轴），
在Rt△P₄OC中，设P₄O=x，则（x+2）²=x²+3²
解得：x=，
∴P₄（，0）；
（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-x²+x+3上，
即：Q点坐标为（x，-x²+x+3），
连接OQ，S_{四边形ABQC}=S_△AOC+S_△OQC+S_△OBQ
=3+x+3（-x²+x+3）
=-x²+x+12，
∵a＜0，
∴S_{四边形ABQC最大值}=，Q点坐标为（3，）。