设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，（1）求f（1），f（），f（9）的值，（2）如果f（x）+f - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省月考题

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

）=1，
（1）求f（1），f（

），f（9）的值，
（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．

答案

解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
令x=3，y=

，则f（1）=f（3）+f（

），
∴f（3）=﹣1
∴f（

）=f（

）+f（

）=2
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=﹣2
（2）∵f（x）+f（2﹣x）=f[x（2﹣x）]＜2=f（

），
又由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数得：

解之得：

．

核心考点

试题【设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，（1）求f（1），f（），f（9）的值，（2）如果f（x）+f】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数 f（x）的定义域为R，且对任意 x∈Z，都有 f（x）=f（x﹣1）+f（x+1）．若f（﹣1）=6，f（1）=7，则 f（2012）+f（﹣2012）=（）．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数

若f（x₀）＞3，则x₀的取值范围是 [ ]
A．x₀＞8
B．x₀＜0或x₀＞8
C．0＜x₀＜8
D．x₀＜0或0＜x₀＜8

题型：单选题难度：一般| 查看答案

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②函数f（x）=2^x（x∈R）是单函数，
③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是（）（写出所有真命题的编号）

题型：填空题难度：一般| 查看答案

应用题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式．

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已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且当x＞0时，
f（x）＞2，f（3）=5．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）求不等式f（a²﹣2a﹣2）＜3的解集．

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