题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0。
（1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状；
（2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标。
图1                                                        图2

答案

解：（1）△AMN是直角三角形，
依题意得OA=2，OM=4，ON=1，
∴MN=OM+ON=4+1=5，
在Rt△AOM中，AM===
在Rt△AON中，AN===
∴MN²=AM²+AN²，
∴△AMN是直角三角形； （解法不惟一）（2）答：（1）中的结论还成立，
依题意得OA=2，OM=-m，ON=n，
∴MN=OM+ON=n-m，
∴MN²=（n-m）²=n²-2mn+m²，
∵mn=-4，
∴MN²=n²-2×（-4）+m²=n²+m²+8，
又∵在Rt△AOM中，AM===
在Rt△AON中，AN===
∴AM²+AN²=4+m²+4+n²=n²+m²+8，
∴MN²=AM²+AN²，
∴△AMN是直角三角形；（解法不惟一） （3） ∵mn=-4，n=4，
∴m=-1，
 设抛物线的函数关系式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过点M（-1，0）、 N（4，0）和A（0，2），
∴
∴
∴所求抛物线的函数关系式为y=-x²+x+2；（4） 抛物线的对称轴与x轴的交点Q₁符合条件，
∵l⊥MN，∠ANM=∠PN Q1，
∴Rt△PNQ₁∽Rt△ANM，
∵抛物线的对称轴为x=，
∴Q₁（，0），
∴NQ₁=4-=，
过点N作NQ₂⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q₂，
∴Rt△PQ₂N、Rt△NQ₂Q₁、Rt△PNQ₁和Rt△ANM两两相似，
∴，
即Q₁Q₂-，
∵点Q₂位于第四象限，
∴Q₂（，-5），
因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（，0），Q₂（，-5）。