题目

题型：解答题难度：一般来源：辽宁省月考题

已知数列{a_n}中a₁=，a_n=2﹣（n≥2，n∈N⁺），数列{b_n}，满足b_n=（n∈N⁺），（1）求证数列 {b_n}是等差数列；
（2）若s_n=（a₁﹣1）（a₂﹣1）+（a₂﹣1）（a₃﹣1）+…+（a_n﹣1）（a _n+1﹣1）是否存在a与b∈Z，使得：a≤s_n≤b恒成立．若有，求出a的最大值与b的最小值，如果没有，请说明理由．

答案

解：（1）由题意知b_n=，
∴b_n﹣b_n﹣1=﹣=1（n∈N*），
∴数列{b _n}是首项为b₁==﹣，公差为1的等差数列．
（2）依题意有：a_n﹣1= 
S_n=（a₁﹣1）（a₂﹣1）+（a₂﹣1）（a₃﹣1）+…+（a_n﹣1）（a _n+1﹣1）=，
设函数 ，则函数在（ ，+∞）上为减函数．S_n在[3，+∞）上是递增，且S_n＜，
故当n=3时，且S_n=，取最小值﹣．
而函数 在（﹣∞，）上也为减函数，S_n在（1，2]上是递增，且S_n＞，
故当n=2时，S_n取最大值：S₂=．
故S_n的最大值为 ．a的最大值与b的最小值分别为﹣3，2