题目

题型：宁夏自治区中考真题难度：来源：

在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC，将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P。
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

答案

解：（1）连接AP，交MN于O，
∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，
∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，
∴，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴当MN=3时，点P恰好落在BC上； （2）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O，
∵MN∥BC，
∴AO⊥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=3，
∴AD=4，
∴，
∴AO=x，
∴S_△AMN=，
当AO≤AD时，
根据题意得：S_△PMN=S_△AMN，
∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S_△AMN，
∴，
∴当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3；
当AO＞AD时， 连接AP交MN于O，则AO⊥MN，
∵MN∥BC，
∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，
∴，
即：，
∴AO=x，
∴，
∴EF=2x-6，OD=AD-AO=4-x，
∴y=S_梯形MNFE=（EF+MN）·OD=×（2x-6+x）×（4x）=-（x-4）²+4，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为4，
综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4。