题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

已知抛物线y=x²+4x+m（m为常数）经过点（0，4）。
（1）求m的值；
（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线，已知平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l₂）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线l₁）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8；
① 试求平移后的抛物线的解析式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在点P，使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与直线l₂相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l₂被圆P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）代入（0，4）得m=4；
（2）①平移前对称轴l₁为x=-2，平移后对称轴l₂为x=2，最小值为-8，故抛物线方程为y=（x-2）²-8；
②设P的坐标为（x₀，y₀），则y₀=-3，x₀=2±或y₀=3，x₀=2±，
又P到x=2的距离小于3，故x₀=2±舍去，综上，存在这样的点P，且点P的坐标为（-3，2±）。