题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3，0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。
图1                                                  图2                                    图3

答案

解：（1）设所求抛物线的解析式为：，
依题意，将点B（3，0）代入，得：
解得：a=-1，
∴所求抛物线的解析式为：； （2）如图1，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x=2代入抛物线，
得
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y=0时，，
∴x=-1或x=3 当x=0时，y=-1+4=3，
∴点A（-1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD=GE…………………②
分别将点A（-1，0）、点E（2，3）代入y=kx+b，
得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y=x+1
∴当x=0时，y=1
∴点F坐标为（0，1）
∴=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，-1）
∴………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小
设过E（2，3）、I（0，-1）两点的函数解析式为：，
分别将点E（2，3）、点I（0，-1）代入，
得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y=2x-1
∴当x=1时，y=1；当y=0时，x=；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI
由③和④，可知：
DF+EI=
∴四边形DFHG的周长最小为。

图1

（3）如图2，由题意可知，∠NMD=∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，
即：………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），
由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD，
∴
再由（1）、（2）可知，AM=1+a，BD=，AB=4
∴
∵，
∴⑤式可写成：
解得：或（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（，0）
又∵点T在抛物线图像上，
∴当x=时，y=
∴点T的坐标为（，）。

图2