题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-1，0）、（3，0）、（0，3），过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；
（3）以点A为圆心，以AD为半径作⊙A，
①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切；
②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将（0，3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3），解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）如图所示，连接BC，交直线l于点D，连接AD交于BC于点D，
∵点B与点A关于直线l对称，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD=BC，
由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时AD+CD最小，点D的位置即为所求，
设直线BC的解析式为y=kx+b，由直线BC过点（3，0），（0，3），得
，解这个方程组，得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
由（1）知：对称轴l为x=，
将x=1代入y=-x+3，得y=-1+3=2，
∴点D的坐标为（1，2）；
（3）①设直线l与x轴的交点记为点E，
由（1）知：当AD+CD最小时，点D的坐标为（1，2），
∴DE=AE=BE=2，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∴BD与⊙A相切，
②（1，-2）。