题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

已知：函数y=ax²+x+1的图象与x轴只有一个公共点。
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax²+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax²+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由。

答案

解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点，
当a≠0时，△=1-4a=0，a=，此时，图象与x轴只有一个公共点，
∴函数的解析式为：y=x+1或y=x²+x+1；
（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C，
∵y=ax²+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x²+x+1，则顶点为B（-2，0），
图象与y轴的交点坐标为A（0，1），
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B，
∴PB⊥AB，则∠PBC=∠BAO，
∴Rt△PCB∽Rt△BOA，
∴，故PC=2BC，
设P点的坐标为（x，y），
∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是钝角，
∴x<-2，
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P点的坐标为（x，-4-2x），
∵点P在二次函数y=x²+x+1的图象上，
∴-4-2x=x²+x+1，
解之得：x₁=-2，x₂=-10，
∵x<-2，
∴x=-10，
∴P点的坐标为：（-10，16）；
（3）点M不在抛物线y=ax²+x+1上，
由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，
CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，
取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ，
∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE，
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴，
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB，
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=，
CE=2QE=2×2BE=4BE，
又CB=8，故BE=，QE=，
∴Q点的坐标为（-，），
可求得M点的坐标为，
∵，
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax²+x+1上。