题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B，孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
①量得OA=3cm；
②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5，请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F。求证：。

答案

解：（1）；
（2）设抛物线的解析式为：
当时，
即
当时，
即
依题意得：
解得：
∴抛物线的解析式为：。
（3）过点E作ED⊥FG，垂足为D，
设，
得 ①
 ②
又，得
分别代入①、②得：

∴
得：
又
∴。