题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图（1）所示，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2。
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2）所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

图1                                                           图2

答案

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点C（0，2），
∴x=2
又∵tan∠OAC==2，
∴OA=1，即A（1，0），
又∵点A在抛物线y=x²+bx+2上，
∴0=1²+b×1+2，b=-3
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x²-3x+2； （2）存在，
过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，
∴x=-，
∴AE=OE-OA=-1=，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE= tan∠CPD
∴，
即，
解得PE=或PE=，
∴点P的坐标为（，）或（，）。（备注：可以用勾股定理或相似解答） （3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2）
∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t
∴S_△BCM=S_△MNC+S_△MNB=MN·t+MN·（2-t）=MN·（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2），
∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1
∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。