题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）。
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O₁、A₁、C₁、B₁，得到如图2的梯形O₁A₁B₁C₁，设梯形O₁A₁B₁C₁的面积为S，A₁、B₁的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），用含S的代数式表示，并求出当S=36时点A₁的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）对称轴：直线x=1；
解析式：或；
顶点坐标：M（1，）；
（2）由题意得，
3，
得：①，
，
得：②，
把②代入①并整理得：（S＞0），
当s=36时，，解得：，
把代入抛物线解析式得，
∴点A₁（6，3）；
（3）存在，
易知直线AB的解析式为，
可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为，
∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t，
当PQ∥AB时，，
得，
下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G，
①当0<时，如图1-1，
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB，
易得△DPQ∽△DEB，
∴，
∴得，
∴（舍去）；
②当时，如图1-2，
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE易得△DPQ∽△DEB，
∴，
∴，
∴，
当秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形
与直线PQ、直线|AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似。