题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

直线y=x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（与B、O点不重合），过E作EF∥AB，交x轴于F，将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒。
（1）①直线y=x-6与坐标轴交点坐标是A（___，___），B（___，___）；
②画出t=2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形（不写画法）；
（2）若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求t为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）；
（3）设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数表达式，并求出S的最大值．

答案

解：（1）①直线与坐标轴交点坐标是A（6，0），B（0，-6）；
②如图1，四边形DCEF即为四边形ABEF沿EF折叠后的图形；（2）∵四边形DCEF与四边形ABEF关于直线EF对称，
又AB∥EF，
∴CD∥EF，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
∵AB∥EF，
∴∠AFE=135°，
∴∠DFE=∠AFE=135°，
∴∠AFD=360°-2×135°=90°，
即DF⊥x轴，
∴DF∥EH，
∴四边形DHEF为平行四边形，
要使□DHEF为菱形，只需EF=DF，
∵AB∥EF，∠FAB=∠EBA，
∴FA=EB，
∴DF=FA=EB=t，
又∵OE=OF=6-t，
∴EF=，
∴=t，
∴，
∴当时，□DHEF为菱形；（3）分两种情况讨论：
①当0＜t≤3时，四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，
∴S=，
∵S=，在t＞0时，S随t增大而增大，
∴t=3时，S_最大=；
②当3＜t＜6时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF，
∴S_{四边形DHOF}=S_△DGF-S_△HGO，
∴S=
=
=，
∵a=＜0，
∴S有最大值，
∴当t=4时，S_最大=6，
综上所述，当S=4时，S最大值为6。