题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（-6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A-B-C-F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒。
（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；
（2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式；
（3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵C（8，8），DC∥x轴，点F的横坐标为3，
∴OD=CD=8
∴点F的坐标为（3，8）
∵A（-6，0），
∴OA=6
∴AD=10，
过点E作EH⊥x轴于点H，则△AHE∽△AOD，
又E为AD的中点，
∴　
∴AH=3，EH=4
∴OH=3，
∴点E的坐标为（-3，4），
设过E、F的直线为y=kx+b，
∴　
∴　
∴直线EF为y=x+6
令x=0，则y=6，
∴点G的坐标为（0，6）；
（2）延长HE交CD的延长线于点M，则EM=EH=4，
∵DF=3，
∴S_△DEF=×3×4=6，
且S_{平行四边形ABCD}=CD·OD=8×8=64，
①当点P在AB上运动时，
S=S_{平行四边形ABCD}-S_△DEF-S_△APE-S_{四边形PBCF}，
∵AP=t，EH=4，
∴S_△APE=×4t=2t，
S_{四边形PBCF}=（5+8-t）×8=52-4t，
∴S=64-6-2t-（52-4t），即S=2t+6，
②当点P在BC边上运动时，
S=S_{平行四边形ABCD}-S_△DEF-S_△PCF-S_{四边形ABPE}，
过点P作PN⊥CD于点N，
∵∠C=∠A，sin∠A=，
∴sin∠C=，
∵PC=18-t，
∴PN=PC·sin∠C=（18-t），
∵CF=5，
∴S_△PCF=×5×（18-t）=36-2t，
过点B作BK⊥AD于点K，
∵AB=CD=8，
∴BK=AB·sin∠A=8×，
∵PB=t-8，
∴S_{四边形ABPE}=（t-8+5）×，
∴S=64-6-（36-2t）-，
即S=-，
③当点P在CF上运动时，
∵PC=t-18，
∴PF=5-（t-18）=23-t，
∵EM=4，
∴S_△PEF=×4×（23-t）=46-2t，
综上：S=；
（3）存在，，。