题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE。
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P"，请直接写出点P"坐标，并判断点P"是否在该抛物线上。

答案

解：（1）设，
把C（0，3）代入，得a=-1，
∴抛物线的解析式为：，
顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点的坐标代入，得
，解得k=-2，b=6，
∴直线AD的解析式为y=-2x+6，
s=，
∴，
，
∴当时，s取得最大值，最大值为；
（3）当s取得最大值，，∴，
∴四边形PEOF是矩形，
作点P关于直线EF的对称点P"，连接P"E、P"F，
设MC=m，则MF=m，P"M=3-m，P"E=，
在Rt△中，由勾股定理，
，
解得m=，
∵，
∴，
由，
可得，EH=，
∴，
∴P"坐标。