题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x²的图象为l₁。
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l₂，如图2，求抛物线l₂的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）设P为y轴上一点，且S_△ABC=S_△ABP，求点P的坐标
；（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l₂上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明。

答案

解：（1）（答案不唯一）。
（2）设的解析式为
联立方程组
解得：
则的解析式为
点C的坐标为（）。（3）如图，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F
则AD=2，，BE=1，DE=2，，
得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为
则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，h）
①当点P位于点G的下方时，，连接AP、BP
则
又
得
点P的坐标为（0，-）。
②当点P位于点G的上方时，
同理，
点P的坐标为（0，）
综上所述所求点P的坐标为（0，-）或（0，）。（4）由图可知，满足条件的点有Q₁、Q₂、Q₃、Q₄，共4个可能的位置。