题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒。

（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。
（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由。

答案

解：（1）；（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN=
则
依题意，可得：

∵0≤x≤1.5
即函数图象在对称轴的左侧，函数值S 随着x的增大而增大

∴当时，S有最大值 ，S_最大值=。（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
①若PM=PA，
∵PQ⊥MA
∴MQ=QA=x
又∵DM+MQ+QA=AD
∴3x=3，即x=1
②若MP=MA，
则MQ=3-2x，PQ=，MP=MA=
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：
∴，解得（不合题意，舍去）。
③若AP=AM，
由题意可得：，AM=
∴
解得：
综上所述，当x=1，或，或时，△MPA是等腰三角形。