题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M，N作等边△PMN。

（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值。

答案

解：（1）直线AB的解析式为：；
（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=8，
∵AP=t，
∴BP=8-t，
∵△PMN是等边三角形，
∴∠MPB=90°，
∵tan∠PBM=，
∴PM=，
当点M与点O重合时，
∵∠BAO=60°，
∴AO=2AP，
∴，
∴t=2；
（3）①当0≤t≤1时，见图2，
设PN交EC于点H，
重叠部分为直角梯形EONG，
作GH⊥OB于H，
∵∠GNH=60°，GH=2，
∴HN=2，
∵PM=8-t，
∴BM=16-2t，
∵OB=12，
∴ON=（8-t）-（16-2t-12）=4+t，
∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG，
∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6，
∵S随t的增大而增大，
∴当t=1时，S_max=8；
②当1＜t＜2时，见图3，
设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，
重叠部分为五边形OFIGN，
作GH⊥OB于H，
∵FO=4-2t，
∴EF=，
∴EI=2t-2，
∴
∵，
∴当时，S有最大值，；
③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合，
设PM交EC于点I，PD交EC于点G，
重叠部分为等腰梯形IMNG，见图4，
，
综上所述：当0≤t≤1时，；
当1＜t＜2时，；
当t=2时，，
∵，
∴S的最大值是。