题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N，当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x。
（1）求△DEF的边长；
（2）求M点、N点在BA上的移动速度；
（3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE·EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，写出它的定义域；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？

答案

解：（1）当F点与C点重合时，如图1所示：
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DFE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°，
∴FD=BC=3；
（2）过E点作EG⊥AB，
∵∠DEF=60°，∠B=30°，
∴∠BME=30°，
∴EB=EM，
在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x，
∴BM=2BG=x，
∴M点在BA上的移动速度为，F点作FH⊥F₁D₁，
在Rt△FF₁H中，FH=x×cos30°=x，
点N在BA上的移动速度为；
（3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°=（3-x），
当P点运动到M点时，有2x+x=3，
∴x=1
①当P点在DM之间运动时，过P点作PP₁⊥AB，垂足为P₁在Rt△PMP₁中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴PP₁=（3-3x）=（1-x），
∴y与x的函数关系式为：
（0≤x≤1），
②当P点在ME之间运动时，过P点作PP₂⊥AB，垂足为P₂，
在Rt△PMP₂中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴PP₂=（1-x），
∴y与x的函数关系式为：

③当P点在EF之间运动时，过P点作PP₃⊥AB，垂足为P₃，
在Rt△PMP₃中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴PP₃=（x-1），
∴y与x的函数关系式为：


∴当x=2时，y_最大=，而当P点在D点时，


∴当P点在D点时，△PMN的面积最大。