题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线y=x²+1，直线y=kx+b经过点B（0，2）。

（1）求b的值；
（2）将直线y=kx+b绕着点B旋转到与x轴平行的位置时（如图1），直线与抛物线y=x²+1相交，其中一个交点为P，求出P的坐标；
（3）将直线y=kx+b继续绕着点B旋转，与抛物线y=x²+1相交，其中一个交点为P"（如图②），过点P"作x轴的垂线P"M，点M为垂足，是否存在这样的点P"，使△P"BM为等边三角形？若存在，请求出点P"的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵直线y=kx+b过点B（0，2）
∴b=2；
（2）y=kx+b绕点B旋转到与x轴平行，即y=2，
依题意有：，x=±2，
∴P（2，2）或P（-2，2）；
（3）假设存在点P"（x₀，y₀），使△P"BM为等边三角形，
如图，则∠BP"M=60°，P"M=y₀，P"B=2（P"M-2）=2（y₀-2），
且P"M=P"B
即y₀=2（y₀-2），
y₀=4，
又点P′在抛物线y=x²+1上，
∴x²+1=4，
x=±2，
∴当直线y=kx+b绕点B旋转时与抛物线y=x²+1相交，
存在一个交点P′（2，4）或P′（-2，4），
使△P"BM为等边三角形。