题目

题型：重庆市期末题难度：来源：

如图，直线分别交x轴、y轴于B、A两点，抛物线L：y=ax²+bx+c的顶点G在x轴上，且过（0，4）和（4，4）两点。
（1）求抛物线L的解析式；
（2）抛物线L上是否存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，若存在，请求出C点的坐标，若不存在，请说明理由。
（3）将抛物线L沿轴平行移动得抛物线L₁，其顶点为P，同时将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，使点D落在抛物线L₁上，试问这样的抛物线L₁是否存在，若存在，求出L₁对应的函数关系式，若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵抛物线L过（0，4）和（4，4）两点，由抛物线的对称性知对称轴为x=2
∴G（2，0），将（2，0）、（4，4）代入，
得，解得
∴抛物线L的解析式为。
（2）∵直线分别交x轴、y轴于B、A两点，
∴A（0，3），B（-，0）
若抛物线L上存在满足的点C，则AC∥BG，
∴C点纵坐标此为3，设C（m，3），
又C在抛物线L，代入解析式：

∴，
当时，BG=，AG=
∴BG∥AG且BG=AG，此时四边形ABGC是平行四边形，舍去
当时，，
∴BG∥AG且BG≠AG，此时四边形ABGC是梯形
故存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，
其坐标为：C（，3）。（3）假设抛物线L₁是存在的，且对应的函数关系式为
∴顶点P（n，0）
Rt△ABO中，AO=3，BO=，可得∠ABO=60°，
又△ABD≌△ABP
∴∠ABD=60°，BD=BP=
如图，过D作DN⊥轴于N点，
Rt△BND中，BD=，∠DBN=60°
∴
∴D（，）
即
又D点在抛物线上
∴
整理得
解得，
当时，P与B重合，不能构成三角形，舍去，
∴当时，此时抛物线为。