题目

题型：期中题难度：来源：

在平面直角坐标系中，B（+1，0），点A在第一象限内，且∠AOB=60°，∠ABO=45°。

（1）求点A的坐标； 　　
（2）求过A、O、B三点的抛物线解析式； 　　
（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，①若△POB的面积为S，写出S与时间t（秒）的函数关系；
②是否存在t，使△POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值。

答案

解：（1）过A作AC⊥OB于C，设OC=x，　　
在Rt△AOC中，AC=x，　　
在Rt△ABC中，BC=x
∵OB=+1，　　
∴OC+BC=OB，
∴x+x=+1，　　
∴x=1、AB=BC=，　　
∴点A（1，）。
（2）∵抛物线经过A（1，）、O（0，0）、B（，0）　　
设y=a（x-0）（x--1），　　
∴=a（-）→a=-1，　　
∴y=-x²+（+1）x，　　
即经过A、O、B三点的抛物线解析式为　
y=-x²+（+1）x。
（3）①过点P作PD⊥BO于D，OP=2t，　　
∴PD=OPsin60°=2t·=t，　　
∴S=OB·PD=（+1）·t 　　
S=t（0＜t≤1）
②存在t，使△POB的外心在x轴上，即△POB的外心在OB上，　　
∴∠OPB=90°，
在Rt△OPB中，OP=OBcos60°=（+1），　　
∴OP=2t，
∴t=，　　
当t=时，△POB的外心在x轴上。