题目

题型：期末题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O是原点；
（1）求这条抛物线的关系式；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A、B（A在B的左边）问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）y=x²-2x+3；
（2）存在，当y=0，则（x-4）²-1=0，
∴x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0），B（6，0），
设P（0，m），则OP=|m|，
在△AOC与△BOP中，
①若∠OCA=∠OBP，则△BOP∽△COA，
∴m=±4；
②若∠OCA=∠OPB，则△BOP∽△AOC，m=±9，
∴存在符合题意的点P，其坐标为（0，4），（0，-4），（0，9）或（0，-9）。