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题目
题型:期末题难度:来源:
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(经过原点)与x轴相交于N点,直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点,与抛物线相交于B(1,m)和C(2,2)两点,
(1)求直线与抛物线的表达式;
(2)求证:C点是△AOD的外心;
(3)若(1)中的抛物线,在x轴上方的部分,有一动点P(x,y),设∠PON=α,当sinα为何值时,△PON的面积有最大值?
(4)若P点保持(3)中运动路线,是否存在△PON,使得其面积等于△OCN面积的?若存在,求出动点P的位置;若不存在,请说出理由。

答案
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点,
∴其表达式可以写成y=ax2+bx,
∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点,
把两点的坐标代入y=kx+4,得,解得
∴直线是y=-x+4,两点是B(1,3),C(2,2),
代入二次函数的表达式,得,解得
∴y=-2x2+5x为抛物线的表达式。
(2)∵y=-x+4,令x=0,y=4;令y=0,x=4,
∴A(0,4),D(4,0),
∴AD=
而OC=2
∴OC=AD,
∴C是Rt△AOD的外心。
(3)通过分析知道,P为顶点时,S△OPN面积最大,
此时,P
又∵方程-2x2+5x=0的两根是x1=0,x2=,即ON=
∴OP=
∴sinα=
此时△PON有最大面积(底是相同的)。
(4)S△OCN=ON×2×=ON=
S△OPN=·ON·PQ(P是PQ⊥NO的垂足)

令S△OPN:S△OCN=

得16x2-40x+9=0,
∴x1=,x2=,即两点分别是P1,P2
即存在P1、P2两点。
核心考点
试题【如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(经过原点)与x轴相交于N点,直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点,与抛物线相交于B(1,m)和C(2,2)两点,(】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
近期,海峡两岸关系的气氛大为改善。大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施,扩大了台湾水果在大陆的销售。某经销商销售了台湾水果凤梨,根据以往销售经验,每天的售价与销售量之间有如下关系:

设当单价从40元/千克下调了x元时,销售量为y千克;
(1)写出y与x间的函数关系式;
(2)如果凤梨的进价是20元/千克,若不考虑其他情况,那么单价从40元/千克下调多少元时,当天的销售利润W最大?利润最大是多少?
(3)目前两岸还未直接通航,运输要绕行,需耗时一周(七天),凤梨最长的保存期为一个月(30天),若每天售价不低于32元/千克,问一次进货最多只能是多少千克?
(4)若你是该销售部负责人,那么你该怎样进货、销售,才能使销售部利润最大?
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(选做题)如图,已知矩形ABCO中,OC=6,OA=10,两边分别在x轴和y轴上,对角线交于D,写出经过O、D、C 三点的抛物线的函数关系式。

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如图,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若P点为抛物线上不同于A的一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为S、R。
①求证:PB=PS;
②判断△SBR的形状;
③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似,若存在,请找出M点的位置;若不存在,请说明理由。
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在如图所示的直角坐标系中,□ABCO的点A(4,0)、B(3,2),点P从点O出发,以2单位/秒的速度向点A运动,同时点Q由点B出发,以1单位/秒的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止,过点Q作QN⊥x轴于点N,连结AC交NQ于点M,连结PM.设动点Q运动的时间为t秒。
(1)点C的坐标为______________;
(2)点M的坐标为__________________(用含t的代数式表示);
(3)求ΔPMA的面积S与时间t的函数关系式;是否存在t的值,使ΔPMA的面积最大,若存在求出t的值,若不存在说明理由。
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如图,抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,3),与x轴的两个交点分别为A(-1,0)、B(3,0),顶点为D,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F。
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得四边形PEDF为平行四边形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)设点P的横坐标为m,△BCF的面积为S,求S关于m的函数关系式及S的最大值。
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