题目

题型：期末题难度：来源：

已知直线y=x和y=-x+m，二次函数y=x²+px+q图象的顶点为M．
（1）若M恰在直线y=x与y=-x+m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数
y=x²+px十q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．  
（2）在（1）的条件下，若直线y=-x+m过点D(0，-3)，求二次函数y=x²+px+q的表达式，
并作出其大致图象．

答案

（1）证明：由，
有，
∴ ，
∴交点M，
此时二次函数为 ，
由②③联立，消去y，有，
 ，
∴无论m为何实数值，二次函数y=x²+px+q的图像与直线y=-x+m总有两个不同的交点；
（2）解：∵直线y=-x+m过D（0，-3），
∴-3=0+m，
∴m=-3，
∴M(-2,-1)
∴二次函数为y=（x+2）²-1=x²+4x+3；
图像如右图：