题目

题型：上海中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

答案

解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x²+6x+8；
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴．
∴，
∴=，∴，
∴EF=t．同理，
∵DF=2，∴OF=t﹣2．
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则四边形EFOM是矩形，
∴EF=OM．
∴在Rt△AEM中，EM=OF=t-2，
AM=OA+AM=OA+EF=4+ t，
当∠CEA=90°时，CE²+AE²=AC²，
即，
解得：t=4
当∠ECA=90°时，CE²+AC²=AE²，
即，
解得：t=8．即点D与点C重合．
综上所述，t的值是4．