题目

题型：甘肃省中考真题难度：来源：

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

答案

解：(1)∵抛物线y＝经过点B(0，4)∴c＝4，
∵顶点在直线x＝上，∴；
∴所求函数关系式为；
(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
当x＝5时，y＝，
当x＝2时，y＝，
∴点C和点D都在所求抛物线上；
(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，
则，解得：，
∴，当x＝时，y＝，
∴P()，
(4)∵MN∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴即得ON＝，设对称轴交x于点F，
则(PF＋OM)OF＝(＋t)×，
∴，
()·＝，
S＝(-)，
  ＝-(0＜t＜4)，
S存在最大值．
由S＝-(t－)²＋，
∴当S＝时，S取最大值是，此时，点M的坐标为(0，)．