题目
题型:广东省期末题难度:来源:
(1)求m的值;
(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:△ABC是等腰直角三角形;
(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C",且与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点,如图.请在抛物线C"上求点P,使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.
答案
∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m﹣1)=0,解得,m=2;
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1,易得顶点B(1,0),
当x=0时,y=1,得A(0,1).由1=x2﹣2x+1,
解得,x=0(舍)或x=2,所以C点坐标为:(2,1).
过C作x轴的垂线,垂足为D,则CD=1,BD=xD﹣xB=1.
∵在Rt△CDB中,∠CBD=45°,BC=.
同理,在Rt△AOB中,AO=OB=1,于是∠ABO=45°,AB=.
∴∠ABC=180°﹣∠CBD﹣∠ABO=90°,AB=BC,
因此△ABC是等腰直角三角形;
(3)由题知,抛物线C"的解析式为y=x2﹣2x﹣3,
当x=0时,y=﹣3;
当y=0时,x=﹣1或x=3,
∴E(﹣1,0),F(0,﹣3),即OE=1,OF=3.
第一种情况:若以E点为直角顶点,设此时满足条件的点为P1(x1,y1),
作P1M⊥x轴于M.
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°,
∴∠P1EM=∠EFO,得Rt△EFO∽Rt△P1EM,则,
即EM=3P1M.
∴EM=x1+1,P1M=y1,
∴x1+1=3y1①
由于P1(x1,y1)在抛物线C"上,则有3(x12﹣2x1﹣3)=x1+1,
整理得,3x12﹣7x1﹣10=0,
解得,x1=﹣1(舍)或.
把代入①中可解得,y1=.
∴P1(,).
第二种情况:若以F点为直角顶点,设此时满足条件的点为P2(x2,y2),
作P2N"与y轴于N.
同第一种情况,易知Rt△EFO∽Rt△FP2N,得,
即P2N=3FN.
∴P2N=x2,FN=3+y2,
∴x2=3(3+y2)②
由于P2(x2,y2)在抛物线C"上,
则有x2=3(3+x22﹣2x2﹣3),
整理得3x22﹣7x2=0,
解得x2=0(舍)或.
把代入②中可解得,.
∴P2(,).
综上所述,满足条件的P点的坐标为:(,)或(,).
核心考点
试题【已知抛物线y=x2﹣2x+m﹣1与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图,设它的顶点为B.(1)求m的值;(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:△A】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式;
(2)请求出每月的最大利润,并指出此时书包的售价应定为多少元.
(1)求出这个二次函数的解析式;并写出函数的顶点坐标;
(2)若函数的图象与x轴相交于点D、E(D在E的左边),求出D、E两点的坐标;
(3)若函数图象与直线y=﹣x+相交于F、G两点(F在G的左边),求出F、G的坐标.
(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;
(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.
B.y=(x+3)2﹣1
C.y=(x﹣1)2+3
D.y=(x+1)2+3
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