题目

题型：重庆市期末题难度：来源：

如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）点 _________ （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）点M．
（2）经过t秒时，NB=t，OM=2t，
则CN=3﹣t，AM=4﹣2t，
∵∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3﹣t
PQ=1+t，
∴S_△AMQ=AM﹒PQ=（4﹣2t）（1+t）=﹣t²+t+2．
∴S=﹣t²+t+2=﹣t²+t﹣++2=﹣（t﹣）²+，
∵0≤t≤2
∴当时，S的值最大．
（3）存在．
设经过t秒时，NB=t，OM=2t
则CN=3﹣t，AM=4﹣2t
∴∠BCA=∠MAQ=45°
①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高
∴PQ是底边MA的中线
∴PQ=AP=MA
∴1+t=（4﹣2t）
∴t=
∴点M的坐标为（1，0）
②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合
∴QM=QP=MA
∴1+t=4﹣2t
∴t=1
∴点M的坐标为（2，0）．