题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知x₁，x₂是关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）=（p﹣2）（p﹣m）的两个实数根．
（1）求x₁，x₂的值；
（2）若x₁，x₂是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

答案

解：（1）原方程变为：x²﹣（m+2）x+2m=p²﹣（m+2）p+2m，
∴x²﹣p²﹣（m+2）x+（m+2）p=0，
（x﹣p）（x+p）﹣（m+2）（x﹣p）=0，
即（x﹣p）（x+p﹣m﹣2）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2﹣p；
（2）根据（1）得到直角三角形的面积为
x₁x₂=p（m+2﹣p）=p²+（m+2）p=﹣（p﹣）²+，
∴当p=且m＞﹣2时，以x₁，x₂为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为．