题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

如图，抛物线：与x轴交于A、B（A在B左侧），顶点为C（1，﹣2）。
（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B的坐标；
（2）求过A、B、C三点的圆的半径；
（3）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标。

答案

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点为C（1，﹣2），
∴﹣=﹣=1，
解得b=﹣1，==﹣2，
解得c=﹣，
∴抛物线解析式为y=x²﹣x﹣，
令y=0，则x²﹣x﹣=0，
解得x₁=﹣1，x₂=3，
∴点A、B的坐标为：A（﹣1，0）、B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2），
∴AB=3﹣（﹣1）=4，AC==2，
BC==2，
∴AB²=16，AC²+BC²=8+8=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2；
（3）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等，
∴点P的横坐标为4或﹣4，
∴y=×4²﹣4﹣=，
或y=×4²+4﹣=，
∴点P、E的坐标为P₁（4，）、E₁（0，）或P₂（﹣4，）、E₂（0，），
②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB，
∴PE与x轴的交点坐标D（1，0），
过点E作EF⊥AB，则OD=FD，
∴点F的坐标为（2，0），
∴点P的横坐标为2，y=×2²﹣2﹣=﹣，
∴点P的纵坐标为，
∴点P、E的坐标为P₃（2，﹣）、E₃（0，），
综上所述，点P、E的坐标为：P₁（4，）、E₁（0，）或P₂（﹣4，）、E₂（0，）或P₃（2，﹣）、E₃（0，）。