如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设直线BC的解析式为：y=mx+n，有：

3m+n=0

n=-3

，
解得：m=1，n=-3；
∴直线BC：y=x-3．
将点B、C的坐标代入y=x²+bx+c中，得：

9+3b+c=0

c=-3

，
解得：b=-2，c=-3；
∴抛物线：y=x²-2x-3．

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为-

，代入抛物线y=x²-2x-3中，得：
-

=x²-2x-3，
解得 x₁=

，x₂=

（舍去）
∴点P（

，-

）．

核心考点

试题【如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线】；主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A的半径为3，A点的坐标为（2，0），C、E分别是⊙A与y轴、x轴的交点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于点B．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c经过B、A两点，且顶点在直线BC上，求此抛物线的顶点的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△PCE和△CBE相似？若存在，请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

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某商场销售一种成本为每千克40元的水产品．据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出500千克；在此基础上，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，求月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不写处x的取值范围）．
（3）商场销售此产品时，要想每月成本不超过10000元，且月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？

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（t007•呼伦贝尔）某车间有t0名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个，每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利t4元．现要求加工甲种零件的人数不少于加工乙种零件人数的t倍，设每天所获利润为y元，那么多少人加工甲种零件时，每天所获利润最大，每天所获最大利润是多少元？

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