题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

答案

（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴

AM

AB

=

AN

AC

，即

x

4

=

AN

3

；
∴AN=

3

4

x；
∴S=S_△MNP=S_△AMN=

1

2

•

3

4

x•x=

3

8

x²．（0＜x＜4）

（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=

1

2

MN．
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴

AM

AB

=

MN

BC

，即

x

4

=

MN

5

，
∴MN=

5

4

x
∴OD=

5

8

x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=

5

8

x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴

BM

BC

=

QM

AC

，
∴BM=

5× 5 8 x

3

=

25

24

x，AB=BM+MA=

25

24

x+x=4
∴x=

96

49

，
∴当x=

96

49

时，⊙O与直线BC相切；

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴

AM

AB

=

AO

AP

=

1

2

，
∵AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，y=S_△PMN=

3

8

x²，
∴当x=2时，y最大=

3

8

×4=

3

2

，
②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴(

PF

AB

)2=

S△PEF

S△ABC

，
∴S_△PEF=

3

2

（x-2）²；
y=S_△MNP-S_△PEF=

3

8

x²-

3

2

（x-2）²=-

9

8

x²+6x-6，
当2＜x＜4时，y=-

9

8

x²+6x-6=-

9

8

（x-

8

3

）²+2，
∴当x=

8

3

时，满足2＜x＜4，y最大=2．
综上所述，当x=

8

3

时，y值最大，最大值是2．