题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），二次函数y=x²的图象记为抛物线l₁．

（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过A、B两点，记为抛物线l₂，求抛物线l₂的函数表达式；
（2）设抛物线l₂的顶点为C，请你判断y轴上是否存在点K，使得∠BKC=90°，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线l₂与y轴交于点D，点P是线段BD上的一个动点，过点P，作y轴的平行线，交抛物线l₂于点E，求线段PE长度的最大值．

答案

（1）∵抛物线l₂经过A（-1，0），B（3，0）
∴设抛物线l₂的解析式为：y=a（x+1）（x-3）…（1分）
∵抛物线l₂是由y=x²平移得到，
∴a=1
∴抛物线l₂的函数表达式：y=x²-2x-3…（2分）

（2）存在点K…（3分）
∵抛物线l₂的函数表达式：y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴抛物线l₂的顶点坐标为（1，-4）
过点C作CG垂直于y轴，垂足为G

若∠OKB+∠GKC=90°
则∠BKC=90°，∠OBK=∠GKC
∴△OKB∽△GCK，
∴

OB

OK

=

GK

GC

，
∴

3

OK

=

4-OK

1

；
解之得：OK=1，或OK=3
∴点K坐标为（0，-1）或（0，-3）…（4分）

（3）抛物线l₂与y轴交于点D，抛物线l₂的函数表达式：y=x²-2x-3
∴点D坐标为（0，-3），
∴设直线BD的解析式为：y=kx+b
将B（3，0），D（0，-3）代入y=kx+b
得：

3k+b=0 b=-3

∴解之得：

k=1 b=-3

；
∴解析式为：y=x-3…（5分）
∵点P是线段BD上的一个动点，
∴点P坐标为（x，x-3）
∵PE平行于y轴，且点E在抛物线l₂上，
∴点E坐标为（x，x²-2x-3）
线段PE的长度为|x²-2x-3|-|x-3|
则PE=-x²+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

∴线段PE长度的最大值

9

4

…（6分）