题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（-9，0）
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x²+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S_△PAM：S_△CEF=

3

：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

答案

（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6
OA=OM+MA=3+6=9
A（9，0）
∵OC=

MC2-OM2

=3

3

∴C（0，3

3

）

（2）证法一：
在Rt△DCO中，∵DC=

DO2+CO2

=6

3

在△DCM中，∵CM²+DC²=144
DM²=（DO+OM）²=（9+3）²=12²=144
∴CM²+DC²=DM²
∴△DCM直角三角形．
∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半径
∴CD是⊙M的切线．
证法二：
在Rt△COM中，∵sin∠MCO=

OM

CM

=

1

2

，
∴∠MCO=30°
在Rt△DOC中，∵tan∠DCO=

DO

CO

=

9

3 3

=

3

，
∴∠DCO=60°
∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径．

（3）由抛物线y=x²+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），可得：

9+3b+c=0 81+9b+c=0

解得：

b=-12 c=27

∴抛物线的解析式为：y=x²-12x+27．

（4）存在
设抛物线的对称轴交x轴于点H
在（2）中已证：
∴∠DCO=60°，∠CDO=30°
∵抛物线的对称轴平行于y，
∴∠CEF=∠DCO=60°
∵OD=OA=9，
∴CO垂直平分AD
∴∠CAO=∠CDO=30°
在Rt△AFH中，∠AFH=60°
∴∠EFC=60°
∴△CEF是等边三角形
过点C作CG⊥EF于点G，则CG=6
可得：EF=4

3

，S_△CEF=

1

2

EF•CG=

1

2

×4

3

×6=12

3

；
若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y），S_△PAM=

1

2

AM•y=3y，S_△PAM：S_△CEF=

3

：3
∴3y：12

3

=

3

：3，
解得：y=4．
当y=4时，即x²-12x+27=4，解得x=6±

13

∴P（6-

13

，4）或（6+

13

，4）．
②若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形．
③若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y）
S_△PAM=

1

2

AM•（-y）=-3y，S_△PAM：S_△CEF=

3

：3
∴-3y：12

3

=

3

：3
解得：y=-4
当y=-4时，即x²-12x+27=-4，解得x=6±

5

．
∴P（6-

5

，-4）或（6+

5

，-4）．
∴这样的点共有4个，
∴P（6-

13

，4）或（6+

13

，4）或（6-

5

，-4）或（6+

5

，-4）．