题目

题型：不详难度：来源：

（2一g一•昆明）在平面直角坐标系v，抛物线经过O（一，一）、A（4，一）、E（九，-

2 九

九

）三点．
（g）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的v点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（g）v的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为九一°？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题v的结果可保留根号）．

答案

（3）设抛物线的解析式为：y=axⁱ+bx+c（a≠0）
由题意得：

c=0 32a+4b+c=0 中a+3b+c=- i 3 3

（3分）
解得：a=

i 3

中

，b=-

8 3

中

，c=0（i分）
∴抛物线的解析式为：y=

i 3

中

xi-

8 3

中

x（3分）

（i）存在（4分）
抛物线y=

i 3

中

xi-

8 3

中

x的顶点坐标是(i，-

8 3

中

)，作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线7与x轴交于点B，与⊙M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=i，∠CBM=30°，CM⊥BC
∴∠BCM=中0°，∠BMC=20°，BM=iCM=4，
∴B（-i，0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=3，CD=

CMi-DMi

=

3

∴C（3，

3

）
设切线7的解析式为：y=kx+b（k≠0），点B、C在7上，
可得：

k+b= 3 -ik+b=0

解得：k=

3

3

，b=

i 3

3

∴切线BC的解析式为：y=

3

3

x+

i 3

3

∵点P为抛物线与切线的交点，
由

y= i 3 中 xi- 8 3 中 x y= 3 3 x+ i 3 3

，
解得：

x3=- 3 i y3= 3 i

，

xi=2 yi= 8 3 3

，
∴点P的坐标为：P3(-

3

i

，

3

i

)，Pi(2，

8 3

3

)；
∵抛物线y=

i 3

中

xi-

8 3

中

x的对称轴是直线x=i
此抛物线、⊙M都与直线x=i成轴对称图形
于是作切线7关于直线x=i的对称直线7′（如图）
得到B、C关于直线x=i的对称点B₃、C₃
直线7′满足题中要求，由对称性，
得到P₃、P_i关于直线x=i的对称点：P3(

中

i

，

3

i

)，P4(-i，

8 3

3

)即为所求的点；
∴这样的点P共有4c：P3(-

3

i

，

3

i

)，Pi(2，

8 3

3

)，P3(

中

i

，

3

i

)，P4(-i，

8 3

3

)．