题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，二次函数y=a（x+1）²-4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y=a（x+1）²-4的图象的顶点，CD=

2

．
（1）求a的值．
（2）点M在二次函数y=a（x+1）²-4图象的对称轴上，且∠AMC=∠BDO，求点M的坐标．
（3）将二次函数y=a（x+1）²-4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C₁，与y轴的交点为D₁，是否存在实数k，使得CF⊥FC₁？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵C（-1，-4），CD=

2

，
∴D（0，-3）
∴a=1
∴y=（x+1）²-4
即y=x²+2x-3．

（2）如右图，设抛物线对称轴与x轴的交点为N，则N（-1，0）；
由（1）的抛物线：y=x²+2x-3，得：A（-3，0）、B（1，0）
在Rt△OBD中，OD=3，OB=1，tan∠BDO=

OB

OD

=

1

3

．
若∠AMC=∠BDO，则tan∠AMN=tan∠BDO=

1

3

；
在Rt△AMN中，AN=OA-ON=2，MN=AN÷tan∠AMN=6；
故M（-1，6）或（-1，-6）．

（3）存在．
∵CC₁=DD₁=k，CC₁∥DD₁，
∴四边形CC₁D₁D为平行四边形，
∴C₁D₁∥CD，
∴∠D₁C₁C=∠DCN=45°，
∵CF⊥FC₁，
∴∠CC₁F=45°
即△CFC₁为等腰直角三角形，且CC₁=k，
∴F（-

1

2

k-1，-

1

2

k-4），
由点F在新抛物线y=x²+2x-3-k上，
∴（-

1

2

k-1）²+2（-

1

2

k-1）-3-k=-

1

2

k-4，
解得k=2或k=0（舍），
∴k=2．
当k=2时，CF⊥FC₁．