题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
（1）试直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得
|TO-TB|的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不存在，则说明理由．

答案

（1）∵OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
∴D点的坐标为（-1.5，2）；

（2）根据D点的坐标为（-1.5，2）；B点的坐标为（3，2），
以及图象过（0，0），
∴代入二次函数解析式y=ax ²+bx+c，
∴

2= 9 4 a- 3 2 b+c 2=9a+3b+c c=0

，
解得：

a= 4 9 b=- 2 3 c=0

，
∴二次函数解析式为：y=

4

9

x ²-

2

3

x，
假设P点的横坐标为x，纵坐标为：

4

9

x ²-

2

3

x，
∴当△DAO∽△PQO，
∴

DA

PQ

=

AO

OQ

，
∴

3 2

4 9 x2- 2 3 x

=

2

x

，
解得：x=0（不合题意舍去）或x=

51

16

，
当x=

51

16

时，y=

4

9

x ²-

2

3

x=

153

64

，
∴P点的坐标为：（

51

16

，

153

64

），
当△DAO∽△OQP，
∴

DA

OQ

=

AO

PQ

，
∴

3 2

x

=

2

4 9 x2- 2 3 x

，
解得：x=0（不合题意舍去）或x=4.5，
当x=4.5时，y=

4

9

x ²-

2

3

x=6，
∴P点的坐标为：（4.5，6），
故P点的坐标为：（4.5，6）或（

51

16

，

153

64

）；

（3）因为TD=TB，所以求|TO-TB|的值最大转化为求|TO-TD|的最大值，
T、D、O组成三角形，根据两边之差小于第3边，即|TO-TD|＜OD，
只有T、D、O在同一条直线上的时候，才能取得最大值，最大值为OD的长度，
因此延长DO，与对称轴的交点即为所求之T点，
将D（-1.5，2），O（0，0）代入y=kx+b，
k=-

4

3

，
y=-

4

3

x，
∴x=

3

4

，
y=-1，
即T点的坐标为（

3

4

，-1），
故使得|TO-TB|的值最大T点的坐标为（

3

4

，-1）．