题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

答案

（1）设y=a（x+1）（x-3），（1分）
把C（0，3）代入，得a=-1，（2分）
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．（4分）
顶点D的坐标为（1，4）．（5分）

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，（6分）
解得k=-2，b=6．
∴直线BD解析式为y=-2x+6．（7分）
s=

1

2

PE•OE=

1

2

xy=

1

2

x（-2x+6）=-x²+3x，（8分）
∴s=-x²+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

=-（x-

3

2

）²+

9

4

．（10分）
∴当x=

3

2

时，s取得最大值，最大值为

9

4

．（11分）

（3）当s取得最大值，x=

3

2

，y=3，
∴P(

3

2

，3)．（5分）
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E、P′F．
法一：过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．
设MC=m，∵CO∥PF，
∴∠2=∠PFC，
由对称可知∠PFC=∠P′FC，
∴∠2=∠P′FC，
则MF=MC=m，P′M=3-m，P′E=

3

2

．
在Rt△P′MC中，由勾股定理，(

3

2

)2+(3-m)2=m2．
解得m=

15

8

．
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=

9

10

．
由△EHP′∽△EP′M，可得

EH

EP′

=

EP′

EM

，EH=

6

5

．
∴OH=3-

6

5

=

9

5

．
∴P′坐标(-

9

10

，

9

5

)．（13分）
法二：连接PP′，交CF于点H，分别过点H、P′作PC的垂线，垂足为M、N．
易证△CMH∽△HMP．
∴

CM

MH

=

MH

PM

=

1

2

．
设CM=k，则MH=2k，PM=4k．
∴PC=5k=

3

2

，k=

3

10

．
由三角形中位线定理，PN=8k=

12

5

，P′N=4k=

6

5

．
∴CN=PN-PC=

12

5

-

3

2

=

9

10

，即x=-

9

10

．
y=PF-P′N=3-

6

5

=

9

5

∴P′坐标（-

9

10

，

9

5

）．（13分）
把P′坐标（-

9

10

，

9

5

）代入抛物线解析式，不成立，所以P′不在抛物线上．（14分）