题目

题型：不详难度：来源：

仔细阅读并完成下题：
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”；如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，已知“蛋圆”是由抛物线y=ax²-2ax+c的一部分和圆心为M的半圆合成的．点A、B、C分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点A的坐标为（-1，0），AB为半圆的直径，
（1）点B的坐标为（______，______）；点C的坐标为（______，______），半圆M的半径为______；
（2）若P是“蛋圆”上的一点，且以O、P、B为顶点的三角形是等腰直角三角形求符合条件的点P的坐标，以及所对应的a的值；
（3）已知直线y=x-

7

2

是“蛋圆”的切线，求满足条件的抛物线解析式．

答案

（1）由抛物线y=ax²-2ax+c知，对称轴 x=1；
∴点M的坐标为（1，0）；
∵点A、B关于点M对称，且A（-1，0）、M（1，0）
∴B（3，0），半圆的半径 r=AM=BM=2；
连接CM，在Rt△OCM中，CM=r=2，OM=1，OC=

CM2-OM2

=

22-12

=

3

，即 C（0，

3

）；
故答案：B（3，0）、C（0，

3

），半圆M的半径为2．

（2）因为抛物线y=ax²-2ax+c经过A（-1，0），有：
a+2a+c=0，c=-3a
∴抛物线：y=ax²-2ax-3a；
Ⅰ、当点P在半圆上时；
①点P是直角顶点，如右图（图Ⅰ-①）；
若△OBP是等腰直角三角形，那么点P必在OB的中垂线上，即 AD=BD=PD=

3

2

；
在Rt△OPD中，OP=2，OD=

3

2

，则 PD=

OP2-OD2

=

22-( 3 2 )2

≠

3

2

，
线段PD长的前后结论矛盾，所以这种情况不成立；
②点O是直角顶点；
由（1）知：OC=

3

＜OB，因此这种情况也不成立．
Ⅱ、点P在抛物线上时；
①点P是直角顶点，如右图（图Ⅱ-①）；
若△OPB是等腰直角三角形，则 OD=BD=PD=

3

2

，即 P（

3

2

，-

3

2

）；
将点P的坐标代入y=ax²-2ax-3a中，有：
a×（

3

2

）²-2a×

3

2

-3a=-

3

2

，
解得：a=

2

5

；
②点O是直角顶点，那么点P必为抛物线与y轴的交点（如图Ⅱ-②）；
若△OPB为等腰直角三角形，则 OP=OB=3，即 P（0，-3）；
同①，求得：a=1．
综上，当P（0，-3）时，a=1；当P（

3

2

，-

3

2

）时，a=

2

5

．

（3）联立直线y=x-

7

2

与抛物线y=ax²-2ax-3a，有：
x-

7

2

=ax²-2ax-3a，
化简，得：ax²-（2a+1）x-3a+

7

2

=0
∴△=（2a+1）²-4a（-3a+

7

2

）=16a²-10a+1=0，
解得：a=

1

2

或a=

1

8

；
∴满足条件的抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

、y=

1

8

x²-

1

4

x-

3

8

．