题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；
  
(1) 求拋物线的函数表达式；
(2) 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n) (m>0)。
j当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
k在j的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；
l当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

（1）y= -x2+16
（2）jP(8，12)   Q(8，-4)
k 8-16<m<8
l不存在

解析

(1) 由拋物线y=ax2+c经过点E(0，16)、F(16，0)得：，
解得a= -，c=16，∴y= -x2+16；
(2) j过点P做PG^x轴于点G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，
∴OG=OF=´16=8，即P点的横坐标为8，∵P点在拋物线上，
∴y= -´82+16=12，即P点的纵坐标为12，∴P(8，12)，
∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，∴Q点的纵坐标为-4，
∵Q点在拋物线上，∴-4= -x2+16，∴x1=8，x2= -8，
∵m>0，∴x2= -8(舍去)，∴x=8，∴Q(8，-4)；
k 8-16<m<8；
l不存在；
理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，∵P点在拋物线上，∴7= -x2+16，
∴x1=12，x2= -12，∵m>0，∴x2= -12(舍去)，∴x=12，∴P点坐标为(12，7)，
∵P为AB中点，∴AP=AB=8，∴点A的坐标是(4，7)，∴m=4，
又∵正方形ABCD边长是16，∴点B的坐标是(20，7)，
点C的坐标是(20，-9)，∴点Q的纵坐标为-9，∵Q点在拋物线上，
∴-9= -x2+16，∴x1=20，x2= -20，∵m>0，∴x2= -20(舍去)，x=20，
∴Q点坐标(20，-9)，∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，
∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。