题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，）， 与x轴交于点A、 B，点A的坐标为（2，0）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PD∥BC，交AC于点D，连接CP．当△CPD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点Q，与直线BC交于点F，点M 的坐标为（，0）．问：是否存在这样的直线，使得△OMF是等腰三角形？若存  在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）
（2）
（3）或

解析

（1）由题意，得
解得.……2分
∴所求抛物线的解析式为：．.……3分
(2)设点P的坐标为(x，0)，过点D作DG⊥x轴于点G．
∴由，得．
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（-4，0）．.……4分
∴AB=6，BP=2-x．
∵点P在线段AB上，
∴．.……5分
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ABC
∴   
即，∴．
∴

.……8分
又，
∴当时，有最大值3，此时P．.……9分
（3）存在．
在△OMF中．
①若MO=MF，∵B（-4，0），M（-2，0），故BM=OM=MF=2．
又在Rt△BOC中，OB=OC=4，∴∠OBC=45°．∴∠MFB=∠OBC=45°．
∴∠BMF=90°．此时，点F的坐标为（-2，-2）．
由，得．
此时，点Q的坐标为：．.……11分
②若OF=MF，过点F作FE⊥x轴于点E，
由等腰三角形的性质得：，∴BE=3，
∴在等腰直角△BEF中，EF=BE=3．∴F（-1，-3）．
由，得．
此时，点Q的坐标为：．.……13分
③若OM=OF，∵OB=OC=4，且∠BOC=90°，∴，
∴点O到BC的距离为，而OF=OM=2<，
此时，不存在这样的直线，使得△OMF是等腰三角形．.……14分
综上所述，存在这样的直线，使得△OMF是等腰三角形．所求点Q的坐标为：
或．