题目
题型:不详难度:来源:
小题1:(1)求点的坐标;
小题2:(2)求证:;
小题3:(3)点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点,过点作交轴于点,是否存在点使得与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
小题1:(1).
小题2:(2)
小题3:(3)
解析
分析:
(1)有两种方法,方法一是传统的点的待定系数法,方法二,通过作辅助线,构造△BGF∽△BHA由比例关系求出F点坐标;
(2)也有两种方法,方法一,在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF;方法二利用几何关系求出∠CFD=90°;
(3)求存在性问题,先假设存在,看是否找到符合条件的点P的坐标,此题分两种情况;①Rt△QPO∽Rt△CFD;②Rt△OPQ∽Rt△CFD,根据比例求出P点坐标。
解答:
(1)方法一:如图1,当x=-1时,y=1/4;当x=4时,y=4
∴A(-1,1/4),B(4,4)。
设直线AB的解析式为y=kx+b,
则-k+b=1/4,4k+b=4
解得k=3/4,b=1。
∴直线AB的解析式为y=3/4x+1。
当x=0时,y=1
∴F(0,1)。
方法二:求A、B两点坐标同方法一,
如图2,作FG⊥BD,AH⊥BD,垂足分别为G、H,交y轴于点N,则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FO=x,
∵△BGF∽△BHA
∴BG/BH=FG/AH
∴(4- x)/(4-1/4)=4/5
解得x=1
∴F(0,1)。
(2)证明:
方法一:在Rt△CEF中,CE=1,EF=2,
根据勾股定理得:CF2=CE2+EF2=12+22=5,
∴CF=
在Rt△DEF中,DE=4,EF=2
∴DF2=DE2+EF2=42+22=20
∴DF=2
由(1)得C(-1,-1),D(4,-1)
∴CD=5
∴CD2=52=25
∴CF2+DF2=CD2
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF(8分)
方法二:由(1)知AF==,AC=5/4
∴AF=AC。
同理:BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO
同理:∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF(8分)
(3)存在。
解:如图3,作PM⊥x轴,垂足为点M(9分)
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴PM/PQ=OM/OP
∴PQ/OP=PM/OM。
设P(x,1/4x2)(x>0),
则PM=1/4x2,OM=x
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时,
PQ/OP=CF/DF=/2=1/2
∴PM/OM=1/4x2/x=1/2
解得x=2
∴P1(2,1)。
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时,
PQ/OP=DF/CF=2/=2
∴PM/OM=1/4x2/x=2
解得x=8
∴P2(8,16)
综上,存在点P1(2,1)、P2(8,16)使得△OPQ与△CDF相似。
点评:此题是一道综合性较强的题,前两问方法多,有普通的方法和新颖的方法,作合适的辅助线很重要,最后一问是探究性问题,发散思维。
核心考点
试题【(本题10分)已知,如图,过点作平行于轴的直线,抛物线上的两点的横坐标分别为1和4,直线交轴于点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为点、,连接.小题1:(1)求点】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(0,3) | B.(0,-3) | C.(0,) | D.(0, -) |
A.a<0,b<0,c>0 B. a<0,b<0, c<0
C.a<0,b>0,c>0 D. a>0,b<0,c>0
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