题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，＝.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若 ＝时，求点P的坐标；
（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一点直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG 与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．

答案

小题1:∵ M为抛物线的顶点，
∴M（2，c）．∴OH＝2，MH＝|c|．∵a<0，且抛物线与x轴有交点，
∴c＞0，∴MH＝c．
∵sin∠MOH＝，∴．∴OM＝，∵，
∴MH＝c＝4．∴M（2，4）．
∴抛物线的函数表达式为：．
小题2:如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH．∴∠EHO＝∠FMH，∠OEH＝∠HFM．∴△OEH∽△HFM．∴＝＝．∵＝，∴MF＝HF．∴∠OHP＝∠FHM＝45°．∴OP＝OH＝2，∴P（0，2）．如图2，同理可得，P（0，－2）．

小题3:∵A（-1，0），∴D（1，0）．∵M（2，4），D（1，0），∴MD：．
∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，∴，∴AN＝，ON＝，N（0，）．
如图3，若△ANG ∽ △AMD，可得NG∥MD，∴QG：．如图4，若△ANG ∽ △ADM，可得，．∴AG＝，∴G（，0），∴QG：；
综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：或．……4分

解析

考点：
专题：综合题；存在型；数形结合．
分析：（1）由抛物线y=-(x-2)²+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH= ，求出c的值，进而求出抛物线方程；
（2）如图1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可证△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例关系，求出P点坐标；
（3）首先求出D点坐标，写出直线MD的表达式，由两直线平行，两三角形相似，可得NG∥MD，直线QG解析式．
解答：解：（1）∵M为抛物线y=-(x-2)²+c的顶点，∴M（2，c），∴OH=2，MH=|c|．
∵a＜0，且抛物线与x轴有交点，∴c＞0，∴MH=c，∵sin∠MOH=，
∴=．∴OM=c，∵OM²=OH²+MH²，∴MH=c=4，∴M（2，4），
∴抛物线的函数表达式为：y=-(x-2)²+4．
（2）如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，
∴∠EHO=∠FMH，∠OEH=∠HFM．∴△OEH∽△HFM，
∴=，∵，∴MF=HF，∴∠OHP=∠FHM=45°，
∴OP=OH=2，∴P（0，2）．如图2，同理可得，P（0，-2）．

（3）∵A（-1，0），∴D（1，0），∵M（2，4），D（1，0），∴直线MD解析式：y=4x-4，
∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，∴，∴AN=，ON=，N（0，）．
如图3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD，∴直线QG解析式：y=4x+，
如图4，若△ANG∽△ADM，可得∴AG=，
∴G（，0），∴QG：y=-x+，
综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：y=4x+或y=-x+．

点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会应用三角形相似定理，本题步骤有点多，做题需要细心．